ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
"Μόρφωση είναι εκείνο που μένει όταν έχουμε ξεχάσει καθετί που μάθαμε στο σχολείο." (Α. Αϊνστάιν)
"Ο μαθηματικός είναι ένας τυφλός άνθρωπος σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει μια μαύρη γάτα που δεν είναι εκεί." (Δαρβίνος)

Όταν έγινε η πρώτη διάσπαση του ατόμου και κατασκευάστηκε η ατομική βόμβα, ο ίδιος ο Αϊζενχάουερ δήλωσε :
"Σήμερα ευρισκόμεθα στα προπύλαια της ελληνικής μαθηματικής".


Τρίτη, 30 Αυγούστου 2011

Τα μαθηματικά της Θεωρίας των χορδών

Η θεωρία των υπερχορδών είναι μία προσπάθεια εξήγησης της ύπαρξης όλων των μορίων και των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης σε μία και μοναδική θεωρία. Το συγκεκριμένο μοντέλο θεωρεί την ύπαρξη απειροελάχιστων μικροσκοπικών υπερσυμμετρικών χορδών ως τα δομικά στοιχεία των κουάρκ. Προσέξτε στο επίπεδο που κατεβαίνουμε:
τα κουάρκ είναι τα δομικά στοιχεία των πρωτονίων και των νετρονίων, εν συνεχεία τα σωματίδια αυτά (κουάρκ) αποτελούνται από τις χορδές αυτές!!
Το δυσκολότερο πρόβλημα στη θεωρητική φυσική είναι η εναρμόνιση της θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας, η οποία περιγράφει τη δύναμη της βαρύτητας και ισχύει για μεγάλης κλίμακας δομές (π.χ. αστέρες, γαλαξίες, συστοιχίες γαλαξιών), με τη θεωρία της Κβαντομηχανικής, η οπόια περιγράφει τις άλλες τρεις θεμελιώδεις δυνάμεις (ηλεκτρομαγνητισμός, ισχυρή πυρηνική δύναμη, ασθενής πυρηνική δύναμη) που δρουν σε ατομική κλίμακα. Η ενοποίηση αυτών των δύο θεωριών θα μας δώσει μία και μοναδική θεωρία που θα περιγράφει ολόκληρο το σύμπαν και το μικρόκοσμο και από αυτή θα μπορούμε θεωρητικά να κατανοήσουμε σχεδόν τα πάντα στο φυσικό μας κόσμο.


Τα μαθηματικά

Η πιο σημαντική μοναδική εξίσωση στη θεωρία των χορδών είναι η N-σημείων εύρους διασποράς. Αυτή μεταχειρίζεται τις εισερχόμενες και εξερχόμενες χορδές σαν σημεία, τα οποία στη θεωρία χορδών είναι ταχυόνια με ορμή  ki  , τα οποία συνδέουν μία παγκόσμια επιφάνεια χορδών με μία επιφάνεια σημείων zi . Δίνεται από το ακόλουθο συναρτησιακό ολοκλήρωμα το οπόιο ενσωματώνει αθροίσματα από όλες τις πιθανές ενσωματώσεις αυτής της 2-στατης επιφάνειας στις 27 διαστάσεις.



 Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα μπορεί να πάρει τη μορφή:




Αυτό ενσωματώθηκε πάνω από τα διάφορα σημεία z. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται επειδή δύο μέρη της μιγαδικής περιοχής μπορεί να αντιπροσωπεύουν το ίδιο σημείο στη 2-στατη επιφάνεια και δεν θέλουμε να ενσωματώνονται δύο φορές. Επίσης, πρέπει να σιγουρευτούμε ότι δεν ενσωματώθηκε πολλαπλές φορές από διαφορετικές παραμετρικοποιήσεις της επιφάνειας. Όταν όλα αυτά τα λάβουμε υπ' όψιν μπορούμε να υπολογίσουμε το 4-σημείο εύρους διασποράς (το 3-σημείο διασποράς είναι απλά μια συνάρτηση Δέλτα):


Το οποίο είναι μια συνάρτηση Βήτα (δηλ. ολοκλήρωμα Euler πρώτου είδους). Ήταν αυτή η συνάρτηση Βήτα που προφανώς βρέθηκε πριν αναπτυχθεί η πλήρης θεωρία των χορδών. Με υπερχορδές οι εξισώσεις περιέχουν όχι μόνο τις 10-διάστατες χωροχρονικές συντεταγμένες Χ αλλά επίσης και τις συντεταγμένες του Grassmann, θ. Επειδή υπάρχουν ποικίλοι τρόποι για να βρεθούν οδήγησαν αντίστοιχα σε διαφορετικές θεωρίες χορδών.
Όταν ενσωματώθηκαν πάνω από επιφάνειες όπως ο τόρος, καταλήξαμε σε εξισώσεις από την πλευρά των συναρτήσεν Θ και των ελλειπτικών συναρτήσεων όπως η συνάρτηση η του Dedekind. Αυτή είναι λεία παντού μόνο όταν υψωθεί στη 24η δύναμη, κάτι το οποίο έπρεπε να γίνει για να υπάρχει φυσικό νόημα. Αυτή είναι η προέλευση των απαραίτητων 26 διαστάσεων του χωροχρόνου για την Μποσονική θεωρία των χορδών. Οι επιπλέον δύο διαστάσεις προκύπτουν ως βαθμοί ελευθερίας της επιφάνειας χορδών.

Τόρος


D-branes


Οι D-branes είναι μεμβράνες - αντικείμενα στην 10-διάστατη θεωρία χορδών. Μπορείται να τις φανταστείτε (σαν εμφάνιση) ως αποτέλεσμα συμπαγοποίησης του Kaluza - Klein της 11-διάστατης Μ-θεωρίας, που περιέχει μεμβράνες. Οι Kaluza και Klein συνέβαλλαν με το έργο τους στη σύλληψη και κατανόηση ως ένα μέρος της θεωρίας χορδών. Επειδή η συμπαγοποίηση της γεωμετρικής θεωρίας παράγει επιπλέον διανυσματικά πεδία οι D-branes μπορούν να συμπεριληφθούν προσθέτοντας ένα επιπλέον U(1) σιανυσματικό πεδίο στη δράση των χορδών.


Στον τύπο 1 της θεωρίας των ανοιχτών χορδών, το τελείωμα των ανοιχτών χορδών προσαρμόζεται πάντα στις D-branes επιφάνειες. Μία θεωρία χορδών με περισσότερα μετρήσιμα πεδία, όπως το SU(2) μετρήσιμο πεδίο, θα αντιστοιχούσε σε συμπαγοποίηση μερικών υψηλότερης διάστασης θεωριών, πάνω από 11 διαστάσεις, το οποίο δε φαίνεται να είναι πιθανό μέχρι σήμερα.




Παρακάτω υπάρχει ένα πολύ διαφωτιστικό βίντεο για τη θεωρία χορδών. Πατήστε το play και στη συνέχεια επιλέξτε για υπότιτλους τα ελληνικά. Ελπίζω να το βρείτε ενδιαφέρον. Η θεωρία χορδών ακομή και εάν δεν αποδειχθεί πειραματικά από τον επιταχυντή σωματιδίων στο Cern της Ελβετίας αξίζει το θαυμασμό μας και μόνο από το γεγονός ότι προσπάθησε να ξεπεράσει τα πλαίσια της ήδη υπάρχουσας γνώσης και να πάει ένα βήμα παραπέρα την έρευνα και κατ' επέκταση τη γνώση και την επιστήμη...














0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου