Η μονομαχία: Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα θεωρίας παιγνίων!!!

 Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα θεωρίας παιγνίων, αποτελεί η μονομαχία όχι δυο ατόμων όπως ξέρουμε όλοι, αλλά τριών. Το πραγματεύτηκε εκτενώς ο Μάρτιν Γκάρντνερ στην στήλη του «Μαθηματικά παιχνίδια» στο Scientific American το 1958, αλλά η ιδέα είναι πολύ παλιότερη. Ο πρώτος που έθεσε το πρόβλημα ήταν ο Άγγλος μαθηματικός και οικονομολόγος Χιούμπερτ Φίλλιπς τo 1938. 

Διατυπώνεται ως εξής :

Μια μέρα ο

κ. Μαύρος, ο κ. Γκρι και ο κ. Άσπρος αποφασίζουν να λύσουν τις διαφορές τους μονομαχώντας με πιστόλια μέχρι να επιζήσει ο ένας από τους τρεις. Ο κ. Μαύρος είναι ο χειρότερος σκοπευτής, με επιτυχία κατά μέσο όρο μόνο μια βολή στις τρεις. Ο κ. Γκρι είναι καλύτερος σκοπευτής πυροβολώντας με επιτυχία δυο στις τρεις φορές. Ο κ. Άσπρος είναι ο καλύτερος σκοπευτής από τους τρεις, με επιτυχία 100%. Για να είναι η μάχη πιο δίκαιη, επιτρέπεται να πυροβολήσει πρώτος ο κ. Μαύρος, μετά ο κ. Γκρι (αν είναι ακόμα ζωντανός ) και μετά ο κ. Άσπρος (εάν είναι ακόμα ζωντανός). Συνεχίζουν λοιπόν με αυτή την σειρά μέχρι να μείνει ζωντανός ο ένας από τους τρεις. Το ερώτημα που τίθεται είναι: Ποιον πρέπει να σημαδέψει πρώτα ο κ. Μαύρος;

Ας δούμε το πρόβλημα από την σκοπιά του κ. Μαύρου. Πρώτον, ο κ. Μαύρος στοχεύει τον κ. Γκρι. Αν επιτύχει η επομένη βολή ανήκει στον κ. Άσπρο. Ο κ. Άσπρος έχει τώρα μόνο ένα αντίπαλο, τον κ. Μαύρο. Δεδομένου ότι ο κ. Άσπρος είναι τέλειος σκοπευτής, ο κ. Μαύρος μπορεί να θεωρηθεί νεκρός. Μια καλύτερη επιλογή για τον κ. Μαύρο είναι να στοχεύσει πρώτα τον κ. Άσπρο. Αν επιτύχει, η επομένη βολή ανήκει στον κ. Γκρι. Ο κ. Γκρι όμως πετυχαινει το στόχο του μόνο δυο στις τρεις φορές και έτσι υπάρχει η πιθανότητα ο κ. Μαύρος να επιζήσει και να πυροβολήσει τον κ. Γκρι, πιθανώς νικώντας.

Φαίνεται ότι η στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο κ. Μαύρος είναι η δεύτερη. Υπάρχει ωστόσο και μια τρίτη, ακόμη καλύτερη: ο κ. Μαύρος θα μπορούσε να πυροβολήσει στον αέρα. Είναι τώρα η σειρά του κ. Γκρι να πυροβολήσει, ο κ. Γκρι στοχεύει τον κ. Άσπρο γιατί αυτός είναι ο πιο επικίνδυνος αντίπαλος. Αν ο κ. Άσπρος επιζήσει, θα στοχεύσει τον κ. Γκρι, που είναι τώρα ο πιο επικίνδυνος αντίπαλος. Πυροβολώντας στον αέρα, ο κ. Μαύρος δίνει στον κ. Γκρι την δυνατότητα να εξοντώσει τον κ. Άσπρο και αντιστρόφως.

Η τελευταία αυτή στρατηγική είναι η καλύτερη. Τελικα ο κ .Γκρι ή ο κ. Άσπρος θα πεθάνουν, και τότε ο κ. Μαύρος θα στοχεύσει αυτόν που θα έχει επιζήσει. Με τον τρόπο αυτόν, ο κ. Μαύρος κατορθώνει να μετατρέψει τον αγώνα σε πραγματική μονομαχία για δυο και όχι για τρεις και να είναι αυτός που θα ρίξει την πρώτη βολή.

Για να είμαστε ακριβείς ακολουθώντας ο κ. Μαύρος την στρατηγική που προαναφέραμε, οι πιθανότητες επιβίωσης των τριών μονομάχων, αποδεικνύεται ότι είναι: ο κ. Μαύρος 52.22%, ο κ. Γκρι 17.77% και ο κ. Άσπρος 30%.

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com