Το θεώρημα του Μενέλαου

Το θεώρημα αυτό αποτελεί ένα μικρό διαμάντι των μαθηματικών της αρχαιότητας. Αναφέρεται σε μια ευθεία η οποία είναι δυνατόν να τέμνει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου και θα λέγεται διατέμνουσα του τριγώνου. Προφανώς, δεν είναι δυνατόν και τα τρία σημεία να ανήκουν στο εσωτερικό των πλευρών του τριγώνου, οπότε ένα από αυτά θα ανήκει στην προέκταση μιας πλευράς του τριγώνου. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα, δηλαδή θα ισχύει: 

, όπου ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Η διατύπωση του θεωρήματος είναι η εξής:

Έστω ότι μία διατέμνουσα του τριγώνου ABC τέμνει τις πλευρές του στα σημεία

  ,  ,     (Σχήμα 1). Τότε λαμβάνοντας υπόψη και τους προσανατολισμούς θα είναι:

Από τις τρεις κορυφές φέρνουμε προς τη διατέμνουσα τρία παράλληλα μεταξύ τους τυχαία ευθύγραμμα τμήματα. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα πλήθος όμοιων τριγώνων. Από τα όμοια τρίγωνα:

  και     του Σχήματος 1, έχουμε:  

 

Από τα όμοια τρίγωνα    και      , έχουμε:



Από τα όμοια τρίγωνα       και      , έχουμε:


 

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και λάβουμε υπόψη τους προσανατολισμούς, έχουμε:

Οπότε το θεώρημα αποδείχτηκε!!

Το θεώρημα του Μενέλαου υπάρχει σε μια αραβική μετάφραση του έργου "Σφαιρικά" του Μενέλαου του Αλεξανδρινού (1ος αι. μ.Χ.), όπου διατυπώνεται χωρίς απόδειξη. Υπάρχει με απόδειξη στη "Μέγιστη Σύνταξη" του Πτολεμαίου.