Η μαθηματική επιστήμη δίνει πάντα αφορμές για γόνιμες συζητήσεις για διάφορα πεδία των μαθηματικών καθώς επίσης και για διάφορα μαθηματικά μοντέλα και θεωρήματα. Βέβαια, αυτό πολλές φορές προκαλεί διενέξεις, αντιρρήσεις και διαφωνίες. Ας παρακολουθήσουμε παρακάτω μία υποτειθέμενη σύγχρονη συζήτηση στρογγυλής τραπέζης γύρω από τα μαθηματικά με πρωταγωνιστές τον Σωκράτη, τον Ιππία, τον Τίμαιο και τον Θεαίτητο. Ο Σωκράτης νομίζω δεν χρειάζεται συστάσεις. Ο Ιππίας ήταν από τους σπουδαιότερους σοφιστές, διάσημος για την πολύπλευρη και ευρύτατη μόρφωση του. Ο Τίμαιος ενδιαφερόνταν κυρίως για την αστρονομία και τη φύση του σύμπαντος. Ο Θεαίτητος ήταν μαθητής, όπως και ο Πλάτων, του μεγάλου μαθηματικού Θεοδώρου του Κυρηναίου. Ήταν νέος με εξαιρετική ευγένεια και θαυμαστή ευφυϊα.
Διάλογος Στρογγυλής Τραπέζης:
- Σωκράτης: Νά 'μαστε λοιπόν, όλοι μαζί, εδώ, στο στέκι μας, εσύ Τίμαιε, που μου έμαθες κάποτε τα πολύεδρα με τα οποία ο Δημιουργός οργάνωσε τον κόσμο και τα τέσσερα στοιχεία, εσύ Θεαίτητε, ο μαθητής που ξεπέρασες τους δασκάλους σου και μπόρεσες να αποδείξεις με γενικό τρόπο και όχι με μεμονωμένες περιπτώσεις ότι οι τετραγωνικές ρίζες είναι άρρητοι και εσύ σοφέ Ιππία. Ας μου πει ο καθένας σας το λόγο για τον οποίο πρέπει να διδάσκουμε μαθηματικά στα παιδιά.
- Ιππίας: Μα, διότι η υπεροχή στη μαθηματική επιστήμη είναι η αναντίρρητη απόδειξη της υπεροχής του πνεύματος.
- Τίμαιος: Διότι η μαθηματική σκέψη είναι αιώνια, καθολική, επειδή είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών.
- Θεαίτητος: Μα, επειδή τα μαθηματικά είναι όμορφα.
- Σωκράτης: Ιππία όταν ήσουν νέος, έμαθες να τρέχεις στο στάδιο;
- Ιππίας: Βεβαίως, Σωκράτη, όπως και όλοι οι νεαροί Αθηναίοι.
- Σωκράτης: Πιστεύεις, λοιπόν, ότι η υπεροχήστον αγώνα δρόμου είναι η αναντίρρητη απόδειξη της ευκινησίας στα πόδια;
- Ιππίας: Σίγουρα, ο νικητής στο ολυμπιακό άθλημα είναι εκείνος που υπερέχει από όλους τους ανθρώπους σε ό,τι αφορά την ευκινησία στα πόδια.
- Σωκράτης: Και ο νικητής στο ακόντιο δεν είναι εκείνος που υπερέχει στην τένχη ρίψης του ακοντίου;
- Ιππίας: Έτσι νομίζω.
- Σωκράτης: Άρα, λοιπόν, οι νικητές στις ολυμπιάδες των μαθηματικών δεν είναι οι ικανότεροι στο να λύνουν γρήγορα μαθηματικά προβλήματα;
- Ιππίας: Ακριβώς έτσι το εννοώ, Σωκράτη.
- Σωκράτης: Όμως ο λόγος για τον οποίο γίνεται ο αγώνας δρόμου είναι πράγματι ολυμπιακός συναγωνισμός; Ή μήπως είναι ο λόγος που ο Αθηναίος που δεν ξέρει να τρέχει θεωρείται αδύναμος, όπως επίσης και αυτός που ρίχνει ακόντιο;
- Ιππίας: Πού θέλεις να καταλήξεις, Σωκράτη;
- Τίμαιος: Νομίζω ότι ο Σωκράτης υπαινίσσεται ότι ο λόγος ύπαρξης της μαθηματικής επιστήμης δεν είναι να παράγει πρωταθλητές σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, είτε σε μαθηματικές ολυμπιάδες, είτε στο διαγωνισμό του Θαλή - Ευκλείδη (Ε.Μ.Ε.), είτε στο διαγωνισμό του "Καγκουρό" (http://www.kangaroo.gr/). Το να ασχολείσαι με τα μαθηματικά είναι μια καλή άσκηση του πνεύματος, χρήσιμη για όλους τους νέους, αγόρια και κορίτσια.
- Σωκράτης: Καλά το έθεσες, Τίμαιε. Μπορείς να μας εξηγήσεις, κατά τη γνώμη σου, τα μαθηματικά είναι καθολικά και αιώνια;
- Τίμαιος: Θυμίσου λίγο, Σωκράτη, αυτό που σου είπα κάποτε για τον άνθρωπο, τα ζώα, τη φύση και τη ζωή. Όλα είναι ψεύτικα, η επιστήμη τα κατάργησε όλα αυτά, και καταργεί και τον εαυτό της κάθε μέρα. Το μόνο που μένει σταθερό είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι, οι σφαίρες, τα πολύεδρα. Κοίταξε τον τύπο που γράφω: 2 + 2 = 4. Το σημαντικό δεν είναι αν αυτό είναι αλήθεια ή ψέμα, το σημαντικό είναι ότι και στη Αθήνα και στην Αίγυπτο και στο Πεκίνο, παντού, γίνεται αντιληπτό με τον ίδιο τρόπο.
- Σωκράτης: Ε, λοιπόν, το ξέρεις, Τίμαιε, ότι για μένα το 2 + 2 = 4 είναι κάτι το καινούργιο; Παλιά δεν μετρούσαμε έτσι. Και αυτό που μας δυσκόλευε κάποτε με τον δικό μας τρόπο γραφής φαντάζει εύκολο στα σημερινά παιδιά. Χειρίζονται εκπληκτικά μεγάλους ή μικρούς αριθμούς σαν να είναι παιχνιδάκι (αριθμομηχανή). Μέσα στο διάστημα μερικών δυνάμεων του 10, μπορούν να εξετάσουν οτιδήποτε συμβαίνει, από τα στοιχειώδη σωματίδια μέχρι τα γαλαξιακά νέφη. Και ισχυρίζεσαι ότι τίποτε δεν αλλάζει στα μαθηματικά;
- Θεαίτητος: Μου επιτρέπεις να πω δυο λόγια, Σωκράτη;
- Σωκράτης: Εμπρός παιδί μου. Και μη ξεχάσεις να μας πεις αν τα μαθηματικά είναι το ίδιο όμορφα τώρα όπως ήταν παλιότερα, στην εποχή του Ευκλείδη.
- Θεαίτητος: Λες, Σωκράτη, ότι τα μαθηματικά αλλάζουν. Δεν αλλάζουν, εκρήγνυνται! Μόνο το 1990 συντάχθηκαν 100.000 νέα άρθρα μαθηματικών. Στην ιαπωνική μαθηματική εγκυκλοπαίδεια δεν είδα ούτε την αστρονομία ούτε τη μουσική, και είναι κρίμα. Είδα όμως όλους τους πολιτισμούς που ακολούθησαν από τη Βαβυλώνα, την Κίνα, τις Ινδίες, την Αραβία, την Ευρώπη. Είδα να γεννιέται η άλγεβρα και η ανάλυση, είδα τη γεωμετρία να αλλάζει πρόσωπο, τις πιθανότητες να γίνονται θεωρία, να διερευνώνται στα ίδια άρθρα τα αυτόματα και οι γλώσσες και η ανάλυση ενός αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων να γίνεται ζήτημα στρατηγικής σημασίας. Υπάρχουν εργαλεία ικανά να απομνημονεύουν και να επεξεργάζονται τεράστια πλήθη στοιχείων βάσει μαθηματικών μοντέλων. Ο ευκλείδης πέρασε και το έργο του είναι αθάνατο. Ωστόσο, οι σύγχρονοι άνθρωποι χρειάζονται, μέσω παραδειγμάτων που τους ενδιαφέρουν, να κατανοήσουν πως κινούνται τα πράγματα στα μαθηματικά.
- Σωκράτης: Να, λοιπόν, που με τη φλόγα της νιότης τους μας κάνεις ολόκληρη διάλεξη ενώ ήθελες να πεις μόνο δυο λόγια. Και δεν είπες ακόμη που έγκειται η ομορφιά των μαθηματικών. Πείτε μου, φιλοί μου, αν τα μαθηματικά είναι όμορφα όπως μία ωραία γυναίκα, ή όμορφα όπως ο Παρθενώνας, ή όμορφα όπως ένα γραφικό τοπίο.
- Ιππίας: Όμορφα όπως μια ωραία γυναίκα.
- Θεαίτητος: Όμορφα όπως ένα γραφικό τοπίο.
- Τίμαιος: Όμορφα όπως ο Παρθενώνας.
- Σωκράτης: Φυσικά. Θεωρούμε όμορφο αυτό που αγαπάμε. Θεαίτητε, μας είπες λιγό πριν ότι πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά διότι είναι όμορφα. Πρέπει, λοιπόν, να τα διδάσκουμε μόνο στους μαθητές που τα βρίσκουν όμορφα και τα αγαπούν;
- Θεαίτητος: Δεν είχα ακριβώς αυτό στο νου μου, Σωκράτη.
- Σωκράτης: Έτσι, λοιπόν, θέλεις να διδάξεις μαθηματικά σε μαθητές που δεν τα αγαπούν.
- Θεαίτητος: Ναι, χωρίς αμφιβολία, αλλά με τρόπο ώστε να τους κάνω να τα αγαπήσουν και να ανακαλύψουν τις ομορφιές τους.
- Σωκράτης: Να μαστε, λοιπόν, στη δεύτερη ερώτηση: πώς πρέπει να διδάσκουμε τα μαθηματικά; Ας καταλήξουμε όμως σε ένα συμπέρασμα με την πρώτη. Όπως είπε ο Τίμαιος, τα μαθηματικά είναι παγκόσμια γλώσσα και θα πρέπει όλα τα παιδιά να μάθουν να τη διαβάζουν και να τη γράφουν, επειδή θα τη συναντήσουν να χρησιμοποιείται παντού και όποιος δε γνωρίζει να τη χρησιμοποιεί θα είναι ένα είδος αναλφάβητου. Όπως μας βοήθησε να καταλάβουμε ο Ιππίας, τα μαθηματικά είναι μια άσκηση του πνεύματος. Όπως ενθουσιωδώς διακήρυξε ο Θεαίτητος, είναι μια ζωντανή επιστήμη που εξελίσσεται ραγδαία και συνεχώς. Και ο πολίτης που βλέπει να εφαρμόζεται στις εργασίες της ειρήνης και του πολέμου πρέπει να μένει ενημερωμένος, τουλάχιστον σε γενικές γραμμές. Αυτά σας φαίνονται σωστά;
- Ιππίας, Τίμαιος, Θεαίτητος (όλοι μαζί): Πιο σωστά δε γίνεται, Σωκράτη.
- Σωκράτης: Και όμως, κάτι με προβληματίζει. Δεν είπες, Τίμαιε, ότι τα μαθηματικά είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών; Θά 'θελες να μας το εξηγήσεις;
- Τίμαιος: Η πρώτη μέσα στο χρόνο, Σωκράτη, είναι ξεκάθαρο, το εξήγησα ήδη. Γιατί η βασίλισσα; Μα διότι τα στοιχεία των μαθηματικών ξεφεύγουν από το τυχαίο και το απατηλό, που είναι η μοιρά όλων των άλλων επιστημών. Τα στοιχεία των μαθηματικών είναι ακριβώς αυτά που βρίσκονται έξω από το σπήλαιο που ζούσαμε, και που ο φιλόσοφος, ο οποίος αρχικά είναι έκπληκτος, έχει το χρέος να τα περισυλλέξει και να τα φέρει μέσα στο σπήλαιο.
- Ιππίας: Ναι, ναι, αυτό μας το δίδαξε ήδη ο Πλάτων καλύτερα από σένα, και γνωρίζουμε πλέον ότι οι ομάδες και οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν μια πραγματικότητα έξω από τον άνθρωπο, μαι πραγματικότητα περισότερο "πραγματική" από εκείνη του φυσικού κόσμου.
- Σωκράτης: Έτσι, κατά τη γνώμη σου, οι ομάδες υπήρχαν ανέκαθεν, και οι μαθηματικοί αρκούνταν να τις ατενίζουν τόσο καιρό, ενώ ήταν τόσο απλό να τις ορίσουν και ενώ τις βρίσκουμε παντού;
- Ιππίας: Ακριβώς, Σωκράτη.
- Σωκράτης: Αφού λοιπόν είναι τόσο εύκολο να ορίσει κανείς τις ομάδες, και αφού είναι τα πρωτεύοντα στοιχεία, πρέπει να τα διδάσκουμε στους μαθητές ήδη από το νηπιαγωγείο;
- Ιππίας: Γιατί όχι, Σωκράτη;
- Σωκράτης: Ξέρεις όμως ότι το προσπαθήσαμε, και οδήγησε σε οικτρή αποτυχία. Τι λες γι αυτό, Θεαίτητε; Γιατί ο ορισμός μιας ομάδας -τόσο ξεκάθαρος, τόσο σύντομος- να είναι τόσο δυσνόητος;
- Θεαίτητος: Η διαλεκτική στα μαθηματικά "φωλιάζει" στους ορισμούς. Πριν από τη διατύπωση του ορσμού, δηλαδή πριν από τη διαμόρφωση της έννοιας, προηγείται μια ολόκληρη συσσωρευμένη εμπειρία και μια εκτενής ιστορία. Υπάρχουν αποτελέσματα που ονομάζονται θεωρήματα, εργαλεία που λέγονται λήμματα, μέθοδοι που τις λέμε θεωρίες, αναλογίες και απλοποιήσεις, γενικεύσεις και συνθέσεις, λήμματα που γίνονται θεωρήματα, θεωρήματα που γίνονται θεωρίες, μια ολόκληρη επεξεργασια πολύ μακρόχρονη, που γεννά μια σαφή έννοια και έναν καλό ορισμό τού τι είναι ομάδα, μέτρο, πιθανότητα. Από τη στιγμή που διαμορφώνεται η έννοια και διατυπώνεται ο ορισμός δημιουργείται θεωρούνται αφορμή για νέες θεωρίες που απορροφούν τισ παλιές. Είναι αυτό που λέγεται διδακτική μετάθεση. Το πιο δυσνόητο πράγμα στα μαθηματικά είναι το σημείο εκκίνησης μιας νέας θεωρίας.
- Σωκράτης: Πιστεύεις πραγματικά ότι αυτό είναι ίδιον των μαθηματικών; Είναι τόσο απλό στο να τα περιγράφει κανείς και τόσο δύσκολο στο να τα κατανοήσει. Εσύ που κατέχεις τόσο καλά όλες τις επιστήμες, Τίμαιε, πες μας τη γνώμη σου.
- Τίμαιος: Αυτό που ο Θεαίτητος ονομάζει διδακτική μετάθεση υπάρχει βέβαια σε όλες τις επιστήμες. Αλλά κάθε επιστήμη έχει το δικό της διαφορετικό αντικείμενο. Το ίδιον των μαθηματικών είναι ότι το αντικείμενο τους βρίσκεται έξω από αυτά που κατέχουμε και κατανοούμε και αποτελείται από καθαρές αφαιρέσεις, αιωνίως ζώσες: τέτοιες είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι, οι ομάδες.
- Σωκράτης: Πιστεύεις πραγματικά ότι ένα τρίγωνο είναι πιο αφηρημένο από ένα κουάρκ ή από τη θεωρία της εξέλιξης; Δεν είναι αλήθεια ότι κάθε επιστήμη επεξεργάζεται τις δικές της αφαιρέσεις;
- Τίμαιος: Σωκράτη, καταθέτω τα όπλα μου. Συνέχισε λοιπόν με τον Θεαίτητο, αν αυτός είναι σε θέση να εξηγήσει ότι δεν είναι η αφαίρεση εκείνη που διακρίνει τα αντικείμενα των μαθηματικών.
- Θεαίτητος: Θα έλεγα, Τίμαιε, ότι είναι περισσότερο η γενικότητα. Η έννοια της ομάδας είναι κοινή στην άλγεβρα, τη γεωμετρία και τη φυσική. Η θεωρία πληροφοριών προέρχεται από τις τηλεπικοινωνίες, και ενσωματώθηκε στη μοριακή βιολογία. Θα μπορούσα να βρω, νομίζω, πολλά παραδείγματα μαθηματικών θεωριών που να προέρχονται από μια επιστήμη και να εφαρμόζονται απροσδόκητα σε κάποια άλλη. Μου φαίνεται ότι από αυτό ακριβώς απορρέει η μονιμότητα και η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών εννοιών. Εκεί δεν έγκειται, Τίμαιε, το νόημα που θα πρέπει να δώσουμε στη δική σου θεωρία για την αιωνιότητα και την καθολικότητα των μαθηματικών; Όσο για τη γενική ομολογία ότι είναι η πρώτη και η βασίλισσα των επιστημών, δεν είναι από πολλές πλευρές η θεραπαινίδα τους;
- Σωκράτης: Ας μείνουμε εκεί. Μόλις μας έδωσες έναν ακόμη λόγο, πολύ σημαντικό μάλιστα, για τον οποίο πρέπει να διδάσκουμε ευρέως τα μαθηματικά. Αυτό που διακρίνει τα μαθηματικά από ένα καθαρά πνευματικό παιχνίδι φαίνεται πως είναι ο ενοποιητικός χαρακτήρας τους. Ένας μαθηματικός συλλογισμός δημιουργείται με βάση μια πλούσια επιστημονική εμπειρία, της οποίας συγκεντρώνει τα κύρια στοιχεία. Αλλά η δύναμή τους ξεπερνά αυτό το σημείο, και προχωρεί σε άλλα πεδία της γνώσης. Αν δεν αφομοιώσουμε αυτή τη δύναμη και δε γίνουμε κάτοχοί της, θα χαθεί. Αυτό θα πρέπει να είναι το κριτήριο που θα χρησιμοποιήσουμε στη δύσκολη εκλογή των θεμάτων που διδάσκουμε. Τι να διδάξουμε; Πώς να το διδάξουμε; Εσύ που είσαι επαγγελματίας, Ιππία, πες μας τι σκέφτεσαι.
- Ιππίας: Το επαγγελμά μου, Σωκράτη, ήταν να διδάσκω το άνθος της αθηναϊκής αριστοκρατίας και όχι τον όχλο που παραμένει στάσιμος, στο βούρκο. Τι να διδάξεις στους μαθητές του Λυκείου; Ό,τι τους χρειάζεται για να τους κάνει να διακριθούν και να επιτύχουν στους διαγωνισμούς. Πώς να το διδάξεις; Με ικανότητα και κύρος, όπως το έκανα πάντα.
- Τίμαιος: Ξέρεις, Ιππία, ότι ο Πλάτων ήδη διαμαρτυρόταν για το ότι, όσον αφορά τους αριθμούς και τα σχήματα, τα παιδιά της Αθήνας ήξεραν λιγότερα και από το τελευταίο παιδί των Αιγυπτίων. Το σύστημά σου ξεπεράστηκε, και δε δίνει λύση στις ανάγκες που μας θύμισε ο Σωκράτης. Εσύ ο ίδιος, Σωκράτη, δεν είχες διδάξει ένα θεώρημα γεωμετρίας στο δούλο του Μένωνα;
- Σωκράτης: Να έχω διδάξει; Όχι. Να τον έχω οδηγήσει να ανακαλύψει; Ναι. Ήθελα να είμαι μόνο ο οδηγός, ο "μαιευτήρας". Καθένας μπορεί να ασχοληθεί με τα μαθηματικά. Αυτή ήταν και είναι πάντα η γνώμη μου.
- Τιμαίος: Πόσο συμφωνώ με αυτό που μόλις μας είπες, Σωκράτη! Εγώ προσωπικά θα ήθελα να δω τα μαθηματικά να διδάσκονται σε συμφωνία με τις άλλες σύγχρονες επιστήμες, που μας παρέχουν τόσα κίνητρα και υπολογισμούς. Στο πανεπιστημιακό επίπεδο επιλέγουμε την ύλη που θα διδάξουμε. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να μπεις στη μαθηματική επιστήμη, ακι δεν είναι οι ίδιοι για τους μέλλοντες βιολόγους, ή για τους μέλλοντες μηχανικούς, ή για τους μέλλοντες οικονομολόγους.
- Σωκράτης: Η συζήτηση μας εδώ έλαβε τέλος. Ευχαριστώ για την κουβέντα αγαπητοί μου φίλοι. Ελπίζω να ήταν γόνιμη και όλοι μας να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα.
0 σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου