ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
"Μόρφωση είναι εκείνο που μένει όταν έχουμε ξεχάσει καθετί που μάθαμε στο σχολείο." (Α. Αϊνστάιν)
"Ο μαθηματικός είναι ένας τυφλός άνθρωπος σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει μια μαύρη γάτα που δεν είναι εκεί." (Δαρβίνος)

Όταν έγινε η πρώτη διάσπαση του ατόμου και κατασκευάστηκε η ατομική βόμβα, ο ίδιος ο Αϊζενχάουερ δήλωσε :
"Σήμερα ευρισκόμεθα στα προπύλαια της ελληνικής μαθηματικής".


Τετάρτη, 11 Μαΐου 2011

Μουσική και Μαθηματικά

Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. 


Το «λάθος» των Πυθαγορείων

Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά κυβερνούν τη μουσική ή και ότι, ως ένα βαθμό, η μουσική κυβερνά τα μαθηματικά. Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Η εμμονή των Πυθαγορείων στους ρητούς αριθμούς ήταν εκείνη που περιόρισε τους ορίζοντές τους και τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι δομημένος με βάση την τέλεια αρμονία των πάντων. Ωστόσο, στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του  "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε. 

Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης. Μας κληροδότησαν επίσης το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τη χρήση της φιλοσοφίας ως μέσου πνευματικής κάθαρσης, την ιδέα περί ουράνιου πεπρωμένου της ψυχής και της δυνατότητας ανύψωσής της σε ένωση με το θεϊκό στοιχείο του κόσμου. Πυθαγόρεια είναι και η προσφυγή σε εντυπωσιακά σύμβολα με μυστικιστικές ιδιότητες, όπως η τετρακτύς, η χρυσή τομή και η αρμονία των σφαιρών.

 

Η μουσική των σφαιρών

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι πλανήτες (σφαίρες), καθώς ταξιδεύουν στον ουρανό, παράγουν μουσική λόγω της τριβής τους με το γαλαξιακό αιθέρα. Πίστευαν, συγκεκριμένα, ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη. Παράλληλα, διαπίστωναν ότι η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοϊκά αφτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν. Ωστόσο, πρόκειται για μια μουσική με τόση ισχύ, ώστε να καθορίζει όλους τους κύκλους της ζωής, από τις τέσσερις εποχές μέχρι τα καιρικά φαινόμενα. Αρκετούς αιώνες αργότερα, ο Άγιος Αυγουστίνος πίστευε ότι οι άνθρωποι ακούν τελικά τη Μουσική των Σφαιρών τη στιγμή του θανάτου τους κι ότι πρόκειται για ήχους που αποκαλύπτουν τη μέγιστη αλήθεια του σύμπαντος. Σήμερα γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει γαλαξιακός αιθέρας με τον οποίο να έχουν τριβή οι πλανήτες. Όμως, επιπρόσθετα, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει πουθενά μέσα στο σύμπαν απόλυτο κενό. 

 

Η τετρακτύς και το σύμπαν

Για τους Πυθαγορείους, η δεκαδική τετρακτύς ήταν το ιερό σύμβολο των ανεξιχνίαστων μυστικών του σύμπαντος. Αποτελείται από δέκα ισόπλευρα τρίγωνα - εννέα εσωτερικά και το μεγάλο εξωτερικό τρίγωνο που τα περικλείει. Για να σχηματιστεί μια τετρακτύς, πρέπει αρχικά να ορίσει κάποιος τις τέσσερις κουκκίδες της βάσης της. Κύριο χαρακτηριστικό της τετρακτύος είναι το γεγονός ότι το άθροισμα των κουκίδων της, από τη βάση μέχρι την κορυφή, μας κάνει την δεκάδα (4+3+2+1=10). Για τους Πυθαγορείους αυτό το γεγονός αποτελούσε σύμβολο της έσχατης πραγματικότητας, αφού "η τετράς τίκτει την δεκάδα" και η δεκάδα, με τη σειρά της, αποτελεί τη βάση για το δεκαδικό σύστημα - σύμπτωση ότι τα τρία εσωτερικά τρίγωνα της τετρακτύος μοιάζουν με το σύγχρονο προειδοποιητικό σύμβολο της ραδιενέργειας;


Ο Πλάτων, στον Τίμαιο, προβάλλει την πυθαγόρεια άποψη ότι η κοσμική αρμονία περικλείεται μέσα σε ορισμένους αριθμούς. Μετά τους πρώτους αριθμούς 1, 2, 3, ακολουθούν τα τετράγωνά τους, το 4 (2Χ2) ή το 9 (3Χ3) και οι κύβοι τους, το 8 (2Χ2Χ2) ή το 27 (3Χ3Χ3). Οι δύο γεωμετρικές πρόοδοι που σχηματίζονται αντιπροσωπεύονται, σύμφωνα με την κλασική συμβολική παράδοση, από το σχήμα του γράμματος "Λ". Με την παρεμβολή των αριθμητικών μέσων 3 και 6 στην πρώτη πρόοδο (2, 3, 4, 6, 8) σχηματίζουμε την αρμονική πρόοδο 3, 4, 6, ενώ η συνολική διαδοχή των όρων (2, 3, 4, 6, 8) αναλύει στη μουσική τη διπλή οκτάβα (δις διαπασών). Με την παρεμβολή των αριθμητικών μέσων 6 και 18 στη δεύτερη πρόοδο (3, 6, 9, 18, 27) οδηγούμαστε στο σχηματισμό της αρμονικής προόδου 6, 9, 18. Αν, τώρα, μεταξύ του 3 και του 6 παρεμβάλουμε τον αρμονικό τους μέσο όρο 4 και κατά παρόμοιο τρόπο παρεμβάλλουμε το 12 ανάμεσα στο 9 και στο 18, έχουμε την εξής συνολική διαδοχή όρων: 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27. Πρόκειται για μια διαδοχή που αναλύει την τριπλή οκτάβα (8:1) συν μια δεύτερη (9:8) στις επιμέρους ομάδες συμφωνίας. Έτσι, σύμφωνα με τους Πυθαγορείους, αυτές οι δύο αρχικές πρόοδοι εμπεριέχουν όλη την αρμονία του χωροχρόνου.


Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Αν μειώσουμε το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής

 

 

0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου